M02.3 熵增定理的热力学第二定律涌现

定理M02.3.1 (递归熵增的热力学熵对应)

陈述：第1章递归熵增定理$S_{n+1}^{(R)}>S_n^{(R)}$在观察者坐标系中涌现热力学第二定律： $$\frac{d{S}_{thermo}}{dt}=\sum _{k\in S_{obs}}\frac{d}{dt}{S}_k^{(R)}\ge \sum _{k\in S_{obs}}{g}_k^{(R)}>0$$

其中$g_k^{(R)}={\varphi }^{-k}$是第1章标签熵调制函数。

证明： 步骤1：观察者系统的递归熵分解 观察者可观测的系统熵： $$S_{thermo}=S^{(R)}({\mathcal{P}}_{obs}^{(R)}[\rho ])=-\text{tr}({\rho }_{obs}\log {\rho }_{obs})$$

其中${\rho }_{obs}={\mathcal{P}}_{obs}^{(R)}\rho ({\mathcal{P}}_{obs}^{(R)}{)}^{†}$

步骤2：递归层的熵贡献分解 $$S_{thermo}=\sum _{k\in S_{obs}}{S}_k^{(R)}=\sum _{k=0}^{n_{obs}}(-p_k\log p_k){\eta }^{(R)}(k;0)$$

其中$p_k=|⟨e_k^{(obs)},\psi ⟩{|}^2$

步骤3：时间演化的熵增机制 由第3章递归动力学： $$\frac{d\rho }{dt}=-i[H^{(R)},\rho ]+{\mathcal{D}}^{(R)}[\rho ]$$

其中${\mathcal{D}}^{(R)}$是耗散项（观察者截断的效应）

步骤4：熵增下界的递归保证 $$\frac{d{S}_k^{(R)}}{dt}\ge g_k^{(R)}={\varphi }^{-k}>0$$

总熵增：$\frac{d{S}_{thermo}}{dt}\ge {\sum }_{k=0}^{n_{obs}}{\varphi }^{-k}=\frac{1-{\varphi }^{-(n_{obs}+1)}}{1-{\varphi }^{-1}}>0$

涌现热力学第二定律。$\square$

定理M02.3.2 (温度的φ-递归定义涌现)

陈述：温度从递归能量分布的统计涌现： $$\frac{1}{T^{(R)}}=\frac{\partial S^{(R)}}{\partial E^{(R)}}=\sum _{k\in S_{obs}}\frac{\partial S_k^{(R)}}{\partial E_k^{(R)}}$$

其中$E_k^{(R)}={\lambda }_k^{(obs)}⟨n_k⟩$

证明： 步骤1：递归能量的层级分解 系统总能量：$E^{(R)}={\sum }_{k\in S_{obs}}{E}_k^{(R)}={\sum }_k{\lambda }_k^{(obs)}⟨n_k⟩$

其中${\lambda }_k^{(obs)}$是M02.2节的算子本征值，$⟨n_k⟩$是第$k$层的占据数期望。

步骤2：统计力学的φ-递归分布 $$⟨n_k⟩=\frac{1}{\exp (\beta {\lambda }_k^{(obs)})-1}$$（玻色统计） $$⟨n_k⟩=\frac{1}{\exp (\beta {\lambda }_k^{(obs)})+1}$$（费米统计）

其中$\beta =1/(k_B{T}^{(R)})$，$k_B$是递归Boltzmann常数。

步骤3：熵-能量关系的递归推导 $$S^{(R)}=\sum _{k\in S_{obs}}{S}_k^{(R)}=\sum _k\left[-⟨n_k⟩\log ⟨n_k⟩-(1\pm ⟨n_k⟩)\log (1\pm ⟨n_k⟩)\right]$$

步骤4：温度的热力学关系验证 $$\frac{\partial S^{(R)}}{\partial E^{(R)}}=\sum _k\frac{\partial S_k^{(R)}}{\partial ⟨n_k⟩}\frac{\partial ⟨n_k⟩}{\partial {\lambda }_k}=\frac{1}{k_B{T}^{(R)}}$$

涌现热力学温度定义。$\square$

定理M02.3.3 (自由能的φ-递归最小化原理)

陈述：观察者系统的平衡态对应递归自由能的最小化： $$F^{(R)}=E^{(R)}-T^{(R)}{S}^{(R)}=\sum _{k\in S_{obs}}\left[{\lambda }_k^{(obs)}⟨n_k⟩-T^{(R)}{S}_k^{(R)}\right]$$

平衡条件：$\delta F^{(R)}=0$

证明： 步骤1：变分原理的递归实现 自由能变分：$\delta F^{(R)}={\sum }_k\left[{\lambda }_k^{(obs)}\delta ⟨n_k⟩-T^{(R)}\frac{\partial S_k^{(R)}}{\partial ⟨n_k⟩}\delta ⟨n_k⟩\right]$

步骤2：平衡条件的推导 $$\frac{\partial F^{(R)}}{\partial ⟨n_k⟩}={\lambda }_k^{(obs)}-T^{(R)}\frac{\partial S_k^{(R)}}{\partial ⟨n_k⟩}=0$$

步骤3：化学势的递归涌现 $${\mu }_k^{(R)}={\lambda }_k^{(obs)}=T^{(R)}\frac{\partial S_k^{(R)}}{\partial ⟨n_k⟩}$$

每个递归层都有对应的化学势。

步骤4：热力学平衡的递归验证 平衡态分布：$⟨n_k⟩=f(\beta {\mu }_k^{(R)})$

其中$f$是费米或玻色分布函数。$\square$

定理M02.3.4 (相变的递归拓扑机制)

陈述：相变现象来源于观察者截断深度$n_{obs}$变化时的拓扑跃迁： $$n_{obs}:n_1\to n_2\Rightarrow \text{拓扑变化}:{\chi }^{(R)}({\mathcal{H}}_{n_1})\ne {\chi }^{(R)}({\mathcal{H}}_{n_2})$$

证明： 步骤1：观察者截断的拓扑效应 不同截断深度对应不同的有效希尔伯特空间： $${\mathcal{H}}_{n_{obs}}=\text{span}\{|e_0⟩,|e_1⟩,\dots ,|e_{n_{obs}}⟩\}$$

步骤2：第10章递归拓扑的Euler特征数 $${\chi }^{(R)}({\mathcal{H}}_n)=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{\text{Betti}}_k^{(R)}$$

其中Betti数与Fibonacci数相关。

步骤3：临界截断深度的确定 当$n_{obs}$跨过某个临界值$n_c$时： $${\chi }^{(R)}({\mathcal{H}}_{n_c-1})\ne {\chi }^{(R)}({\mathcal{H}}_{n_c})$$

对应拓扑相变。

步骤4：物理相变的数学对应

• 连续相变：$\chi$连续变化但导数不连续
• 一阶相变：$\chi$跳跃变化
• 临界现象：$n_{obs}\to n_c$时的幂律行为

拓扑相变机制解释物理相变的数学起源。$\square$