M02.4 遮蔽函数的测量坍缩机制涌现

定理M02.4.1 (量子态坍缩的遮蔽函数机制)

陈述：量子测量的“态坍缩“实际是第1章遮蔽函数的选择性抑制： $$|\psi {⟩}_{after}=\frac{{\mathcal{M}}_{obs}^{(R)}|\psi {⟩}_{before}}{\Vert {\mathcal{M}}_{obs}^{(R)}|\psi {⟩}_{before}\Vert }$$

其中${\mathcal{M}}_{obs}^{(R)}={\sum }_{k\in S_{obs}}{\mathcal{S}}^{(R)}(k;measurement)|e_k⟩⟨e_k|$

证明： 步骤1：测量前态的完整结构 $$|\psi {⟩}_{before}=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{a}_k|e_k⟩\in {\mathcal{H}}^{(\infty )}$$

包含观察者无法直接观测的无限维信息。

步骤2：测量装置的遮蔽选择性 测量装置设计决定遮蔽函数： $${\mathcal{S}}^{(R)}(k;measurement)=\{\begin{array}{ll}1& k=k_{target}（测量目标）\\ {ϵ}_k\ll 1& k\ne k_{target}（其他分量）\end{array}$$

步骤3：“坍缩“的数学实现 $${\mathcal{M}}_{obs}^{(R)}|\psi ⟩=a_{k_{target}}|e_{k_{target}}⟩+\sum _{k\ne k_{target}}{ϵ}_k{a}_k|e_k⟩$$

当${ϵ}_k\to 0$时，只剩下目标分量。

步骤4：坍缩概率的Born规则涌现 坍缩到$|e_{k_{target}}⟩$的概率： $$P(k_{target})=\frac{|a_{k_{target}}{|}^2}{{\sum }_k|a_k{|}^2{\mathcal{S}}^{(R)}(k;measurement{)}^2}\to |a_{k_{target}}{|}^2$$

当${\mathcal{S}}^{(R)}(k_{target};measurement)=1$，其他${\mathcal{S}}^{(R)}(k;measurement)\to 0$。$\square$

定理M02.4.2 (量子退相干的观察者环境耦合)

陈述：量子退相干从系统与观察者环境的递归耦合涌现： $$\frac{d{\rho }_{system}}{dt}=-i[H_{system}^{(R)},{\rho }_{system}]+\sum _{k\notin S_{obs}}{\mathcal{L}}_k^{(env)}[{\rho }_{system}]$$

其中${\mathcal{L}}_k^{(env)}$是观察者环境的第$k$层耗散项。

证明： 步骤1：总系统的递归分解 总系统：${\mathcal{H}}_{total}^{(\infty )}={\mathcal{H}}_{obs}^{(sys)}\otimes {\mathcal{H}}_{env}^{(\infty )}$

其中系统部分有限维，环境部分无限维。

步骤2：观察者截断的环境耦合 观察者无法观测$k>n_{obs}$的层级，这些层级作为“环境“： $${\mathcal{H}}_{env}=\text{span}\{|e_k⟩:k>n_{obs}\}$$

步骤3：有效系统动力学的推导 $${\rho }_{system}(t)={\text{tr}}_{env}[{\mathcal{U}}^{(R)}(t){\rho }_{total}(0){\mathcal{U}}^{(R)}(t{)}^{†}]$$

步骤4：Lindblad形式的递归实现 $${\mathcal{L}}_k^{(env)}[\rho ]=\sum _{\alpha }\left[L_{k,\alpha }\rho L_{k,\alpha }^{†}-\frac{1}{2}\{L_{k,\alpha }^{†}{L}_{k,\alpha },\rho \}\right]$$

其中$L_{k,\alpha }$是第$k$层环境的Lindblad算子。$\square$

定理M02.4.3 (经典极限的大量子数涌现)

陈述：当观察者截断$n_{obs}\gg 1$时，量子系统涌现经典行为： $$\underset{n_{obs}\to \infty }{\lim }⟨{\hat{O}}^{(R)}{⟩}_{quantum}=O_{classical}^{(R)}$$

证明： 步骤1：大截断极限的量子平均值 $$⟨{\hat{O}}^{(R)}⟩=\sum _{k=0}^{n_{obs}}{\lambda }_k^{(obs)}|⟨e_k,\psi ⟩{|}^2$$

步骤2：经典值的递归定义 $$O_{classical}^{(R)}=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{\lambda }_k^{(R)}⟨n_k{⟩}_{classical}$$

其中$⟨n_k{⟩}_{classical}$是经典分布（如Maxwell-Boltzmann）。

步骤3：量子-经典对应的极限分析 当$n_{obs}\gg 1$时： $$|⟨e_k,\psi ⟩{|}^2\to ⟨n_k{⟩}_{classical}{\varphi }^{-k}$$

步骤4：对应原理的递归验证 $$\underset{n_{obs}\to \infty }{\lim }\sum _{k=0}^{n_{obs}}{\lambda }_k^{(obs)}|⟨e_k,\psi ⟩{|}^2=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{\lambda }_k^{(R)}⟨n_k{⟩}_{classical}$$

极限存在且等于经典值，验证Bohr对应原理。$\square$

定理M02.4.4 (宏观不可逆性的微观可逆基础)

陈述：宏观不可逆性与微观可逆性的表观矛盾通过观察者截断解决： $$\text{微观}({\mathcal{H}}^{(\infty )}):{\mathcal{U}}^{(R)}(t{)}^{†}{\mathcal{U}}^{(R)}(t)=I\text{（可逆）}$$ $$\text{宏观}({\mathcal{H}}_{obs}):\frac{d{S}_{obs}^{(R)}}{dt}>0\text{（不可逆）}$$

证明： 步骤1：母空间演化的微观可逆性 第3章递归动力学的演化算子${\mathcal{U}}^{(R)}(t)$是幺正的： $${\mathcal{U}}^{(R)}(t){\mathcal{U}}^{(R)}(-t)=I$$

时间反演对称性完全保持。

步骤2：观察者投影的信息丢失 投影演化：${\mathcal{U}}_{obs}^{(R)}(t)={\mathcal{P}}_{obs}^{(R)}{\mathcal{U}}^{(R)}(t)({\mathcal{P}}_{obs}^{(R)}{)}^{†}$

一般不幺正：${\mathcal{U}}_{obs}^{(R)}(t{)}^{†}{\mathcal{U}}_{obs}^{(R)}(t)\ne I$

步骤3：粗粒化的熵增机制 观察者熵：$S_{obs}^{(R)}(t)=S^{(R)}({\mathcal{P}}_{obs}^{(R)}[\rho (t)])$

$$\frac{d{S}_{obs}^{(R)}}{dt}=\frac{d}{dt}{S}^{(R)}({\mathcal{P}}_{obs}^{(R)}[\rho (t)])\ge 0$$

由于投影丢失细节信息。

步骤4：可逆性悖论的数学消解

• 微观可逆：母空间${\mathcal{H}}^{(\infty )}$中信息守恒
• 宏观不可逆：观察者截断${\mathcal{H}}_{obs}$中信息单调损失

无矛盾：不同层次的不同性质。$\square$