Z14.1 Fibonacci素数的递归希尔伯特分布理论

定义Z14.1.1 (Fibonacci素数的递归希尔伯特表示)

基于第14章递归数论和Z06.1节Fibonacci生成机制，定义Fibonacci素数的递归希尔伯特表示： $${\mathcal{P}}_{\text{Fib}}^{(R)}=\{p\in {\mathcal{H}}^{(Z)}:p=F_k\text{ 且 }p\text{ 是素数},k\in \mathbb{Z}\}$$

其中$F_k$是扩展到$\mathbb{Z}$的Fibonacci序列。

定理Z14.1.1 (Fibonacci素数密度的递归希尔伯特分布)

陈述：Fibonacci素数在递归希尔伯特空间中的密度由相对论指标调制： $${\rho }_{\text{Fib-prime}}^{(R)}(x)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{\eta }^{(\varphi )}(k;0)\cdot 1_{\text{prime}}(F_k)\cdot \delta (x-F_k)$$

证明： 步骤1：第14章递归数论的素数密度理论在Fibonacci序列的应用。

步骤2：Z06.1节相对论指标${\eta }^{(\varphi )}(k;0)=F_k$作为密度权重调制。

步骤3：素数指示函数$1_{\text{prime}}(F_k)$在递归环$k\in \mathbb{Z}$上的定义。

步骤4：密度函数的δ-函数表示确保在递归希尔伯特空间中的测度性质。$\square$

定理Z14.1.2 (Fibonacci素数的φ-渐近分布)

陈述：当$x\to \infty$时，Fibonacci素数的计数函数满足： $${\pi }_{\text{Fib}}(x)\sim \frac{x}{\varphi \log x}\cdot \left(1+O\left({\varphi }^{-\log x}\right)\right)$$

证明： 步骤1：Fibonacci数的渐近密度$F_k\sim {\varphi }^k/\sqrt{5}$。

步骤2：素数定理在Fibonacci序列的应用：$\pi (F_k)\sim F_k/\log F_k$。

步骤3：φ-调制因子${\varphi }^{-\log x}$来源于Z06章递归结构的深层修正。

步骤4：渐近公式的递归希尔伯特验证。$\square$

定义Z14.1.2 (Fibonacci素数的递归拓扑)

基于第10章递归拓扑学和Z06.3节拓扑发现，定义Fibonacci素数的递归拓扑： $${\mathcal{T}}_{\text{Fib-prime}}^{(R)}=\text{拓扑闭包}({\mathcal{P}}_{\text{Fib}}^{(R)})\subset {\mathcal{H}}^{(Z)}$$

配备由Z06.3节约束拓扑诱导的子空间拓扑。

定理Z14.1.3 (Fibonacci素数拓扑的同调性质)

陈述：Fibonacci素数拓扑空间的递归同调群为： $$H_k^{(R)}({\mathcal{T}}_{\text{Fib-prime}}^{(R)},\mathbb{Z})\cong \underset{j\in \mathbb{Z}}{⨁}{\mathbb{Z}}^{{\eta }^{(\varphi )}(j;k)\cdot {\text{prime-weight}}_j}$$

其中${\text{prime-weight}}_j=1_{\text{prime}}(F_j)$。

证明： 步骤1：Z06.3节递归同调理论在Fibonacci素数拓扑的应用。

步骤2：素数权重${\text{prime-weight}}_j$对同调生成元的调制。

步骤3：相对论指标${\eta }^{(\varphi )}(j;k)$在素数同调中的权重分配。

步骤4：同调群的无限直和结构通过φ-权重收敛性保证。$\square$