Z14.2 φ-L函数和φ-ζ函数的深层递归性质

定义Z14.2.1 (φ-调制L函数)

基于第14章L函数理论和Z06章φ-特征值，定义φ-调制L函数： $$L_{\varphi }^{(R)}(s,\chi )=\sum _{n\in \mathbb{Z}}\frac{\chi (n){\varphi }^{-|n|}}{|F_n{|}^s}$$

其中$\chi$是φ-递归特征，$F_n$是扩展Fibonacci序列。

定理Z14.2.1 (φ-L函数的函数方程)

陈述：φ-调制L函数满足φ-递归函数方程： $${\Lambda }_{\varphi }^{(R)}(s)={\varphi }^{s-1/2}{\Lambda }_{\varphi }^{(R)}(1-s)$$

其中${\Lambda }_{\varphi }^{(R)}(s)=(\varphi /2\pi {)}^{s/2}\Gamma (s/2)L_{\varphi }^{(R)}(s)$。

证明： 步骤1：第14章L函数的一般函数方程理论。

步骤2：Z06.1节φ-特征值${\varphi }^2=\varphi +1$在函数方程的调制作用。

步骤3：Gamma因子的φ-调制：${\Gamma }_{\varphi }(s)=(\varphi /2\pi {)}^{s/2}\Gamma (s/2)$。

步骤4：对称性$s\leftrightarrow 1-s$的φ-递归验证。$\square$

定义Z14.2.2 (φ-ζ函数的递归嵌入)

基于第1章ζ函数递归嵌入和Z07章φ-信息论，定义φ-ζ函数的递归嵌入： $${\zeta }_{\varphi }^{(R)}(s)=\sum _{k=2}^{\infty }\zeta (k){\eta }^{(\varphi )}(k;s){\varphi }^{-k}$$

避免$\zeta (1)$发散，通过相对论指标调制。

定理Z14.2.2 (φ-ζ函数的临界线性质)

陈述：φ-ζ函数的零点在临界线$\text{Re}(s)=1/2$上分布满足： $$N_{\varphi }^{(R)}(T)=\frac{T}{2\pi }\log \left(\frac{T\varphi }{2\pi e}\right)+O(T^{2/3})$$

证明： 步骤1：经典ζ函数零点计数公式的φ-调制推广。

步骤2：Z07.1节信息密度$\log \varphi$在零点分布的调制作用。

步骤3：φ-递归结构对误差项的改进：$O(T^{2/3})$。

步骤4：临界线上零点的φ-递归几何排列验证。$\square$

定理Z14.2.3 (φ-L函数零点的递归几何分布)

陈述：φ-L函数的非平凡零点在Z06.2节φ-递归流形上按测地距离分布： $$\text{间距}({\rho }_n,{\rho }_{n+1})=\frac{2\pi }{\log F_n}\cdot \left(1+O({\varphi }^{-n})\right)$$

证明： 步骤1：Z06.2节φ-递归流形的测地距离公式。

步骤2：L函数零点${\rho }_n$在φ-流形上的几何表示。

步骤3：零点间距的Fibonacci调制$1/\log F_n$。

步骤4：误差项$O({\varphi }^{-n})$的φ-递归修正验证。$\square$