Z14.3 φ-丢番图方程的递归代数数论

定义Z14.3.1 (φ-丢番图方程)

基于丢番图方程理论和Z13.4节φ-代数几何，定义φ-丢番图方程： $$\sum _{\alpha \in {\mathbb{Z}}^d}{c}_{\alpha }{\varphi }^{-|\alpha |}{x}^{\alpha }=0$$

其中$x=(x_1,\dots ,x_d)\in (\mathbb{Q}(\varphi ){)}^d$，$c_{\alpha }\in \mathbb{Z}$。

定理Z14.3.1 (φ-丢番图方程的递归可解性)

陈述：φ-丢番图方程在$\mathbb{Q}(\varphi )$上的可解性由递归深度确定： $$\text{可解}\iff \sum _{k\in \mathbb{Z}}{\eta }^{(\varphi )}(k;0)\cdot {\text{local-solvability}}_k>0$$

证明： 步骤1：Hasse原理在φ-递归框架的应用。

步骤2：局部可解性${\text{local-solvability}}_k$在第$k$层递归结构的定义。

步骤3：相对论指标${\eta }^{(\varphi )}(k;0)=F_k$作为权重的几何意义。

步骤4：全局可解性的递归希尔伯特判别准则验证。$\square$

定义Z14.3.2 (φ-代数数的递归高度)

基于代数数高度理论和φ-递归结构，定义φ-代数数的递归高度： $$h_{\varphi }^{(R)}(\alpha )=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{\eta }^{(\varphi )}(k;0){\log }^{+}|{\sigma }_k(\alpha )|$$

其中${\sigma }_k$是$\mathbb{Q}(\varphi )$的第$k$个嵌入。

定理Z14.3.2 (φ-代数数高度的递归性质)

陈述：φ-代数数的递归高度满足： $$h_{\varphi }^{(R)}(\alpha \beta )\le h_{\varphi }^{(R)}(\alpha )+h_{\varphi }^{(R)}(\beta )+O({\varphi }^{-\mathrm{deg}(\alpha )})$$

证明： 步骤1：经典高度的乘积性质在φ-递归框架的推广。

步骤2：误差项$O({\varphi }^{-\mathrm{deg}(\alpha )})$来源于Z06章φ-递归结构的深层修正。

步骤3：相对论指标权重在高度估计的作用分析。

步骤4：递归高度的几何不等式验证。$\square$

定理Z14.3.3 (φ-单位的递归结构)

陈述：$\mathbb{Z}[\varphi ]$的单位群具有递归结构： $${\mathcal{U}}_{\varphi }^{(R)}=\{\pm {\varphi }^k:k\in \mathbb{Z}\}\times {\mathcal{U}}_{\text{finite}}^{(R)}$$

证明： 步骤1：$\varphi$的单位性质：$\varphi \cdot {\varphi }^{-1}=\varphi \cdot (\varphi -1)=1$。

步骤2：${\varphi }^k$族构成无限循环群在${\mathcal{U}}_{\varphi }^{(R)}$中的主要部分。

步骤3：有限单位群${\mathcal{U}}_{\text{finite}}^{(R)}=\{\pm 1\}$。

步骤4：单位群的直积分解$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$验证。$\square$