Z15.1 φ-Fourier变换的递归希尔伯特实现

定义Z15.1.1 (φ-Fourier变换)

基于第21章递归Fourier变换和Z07章φ-信息论，定义φ-Fourier变换： $${\mathcal{F}}_{\varphi }^{(R)}[f](\xi )=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{a}_k{e}^{-i\xi {\eta }^{(\varphi )}(k;0)}$$

其中${\eta }^{(\varphi )}(k;0)=\text{sign}(k)F_{|k|}$，$\text{sign}(0)=1$，保留符号确保谱对称性。

定理Z15.1.1 (φ-Fourier变换的递归幺正性)

陈述：φ-Fourier变换在φ-调制内积下幺正： $$⟨f,g{⟩}_{\varphi }=⟨{\mathcal{F}}_{\varphi }^{(R)}[f],{\mathcal{F}}_{\varphi }^{(R)}[g]{⟩}_{\varphi }$$

证明： 步骤1：Parseval定理在φ-递归框架的验证。

步骤2：φ-调制内积$⟨f,g{⟩}_{\varphi }={\sum }_k\overline{a_k}{b}_k{\varphi }^{-|k|}$的变换不变性。

步骤3：相对论指标调制正交基$e^{-i\xi {\eta }^{(\varphi )}(k;m)F_k}$的正交性，确保原子化新增的标签参考自包含性。

步骤4：幺正性的完整验证。$\square$

定理Z15.1.2 (Fibonacci频谱的递归谱分析)

陈述：加权Fibonacci频谱$\{{\varphi }^{-|k|/2}{F}_k{\}}_{k\in \mathbb{Z}}$的φ-Fourier变换具有自相似性： $${\mathcal{F}}_{\varphi }^{(R)}[{\varphi }^{-|k|/2}{F}_k](\xi )={\varphi }^{\xi /(2\pi )}{\mathcal{F}}_{\varphi }^{(R)}[{\varphi }^{-|k|/2}{F}_k]({\varphi }^{-1}\xi )$$

证明： 步骤1：加权Fibonacci序列的Fourier变换收敛性验证。

步骤2：大$\xi$下的渐近自相似性：${\mathcal{F}}_{\varphi }^{(R)}\sim {\varphi }^{\xi /(2\pi )}{\mathcal{F}}_{\varphi }^{(R)}({\varphi }^{-1}\xi )$。

步骤3：Fibonacci恒等式的严格边界条件应用。

步骤4：递归希尔伯特空间中的原子化不变性保持。$\square$