Z15.2 Fibonacci周期的调和分析深层理论

定义Z15.2.1 (Fibonacci周期函数)

基于周期函数理论和Z06.1节Fibonacci生成，定义Fibonacci周期函数： $$f_{\text{Fib}}^{(R)}(x)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{\varphi }^{-|k|}{b}_k{e}^{2\pi i{F}_{k}x/T_{\varphi }}$$

其中$a_k={\varphi }^{-|k|}{b}_k$确保级数收敛，$T_{\varphi }=2\pi /\log \varphi$是φ-基本周期。

定理Z15.2.1 (Fibonacci周期的φ-Fourier级数)

陈述：当$b_k=b_0$为常数时，Fibonacci周期函数的φ-Fourier系数满足： $${\hat{f}}_k^{(\varphi )}=\frac{1}{T_{\varphi }}{\int }_0^{T_{\varphi }}f(x)e^{-2\pi i{F}_{k}x/T_{\varphi }}dx={\varphi }^{-|k|}{b}_0$$

一般情况下：${\hat{f}}_k^{(\varphi )}={\varphi }^{-|k|}{b}_k$。

证明： 步骤1：周期函数的φ-Fourier分解理论。

步骤2：Fibonacci频率$F_k/T_{\varphi }$的递归排列。

步骤3：φ-权重${\varphi }^{-|k|}$在Fourier系数的衰减。

步骤4：收敛性的φ-递归保证。$\square$

定理Z15.2.2 (φ-周期的递归自相似性)

陈述：φ-周期结构具有渐近递归自相似性： $$f_{\text{Fib}}^{(R)}(\varphi x)\approx \varphi f_{\text{Fib}}^{(R)}(x)+O({\varphi }^{-\infty })$$

证明： 步骤1：φ-缩放下Fibonacci频率的双向递归变换：

• 正索引：$F_k\to \varphi F_k\approx F_{k+1}+O({\varphi }^{-k})$
• 负索引：$F_{-k}=(-1{)}^{k+1}{F}_k\to \varphi F_{-k}\approx -{\varphi }^{-1}{F}_{-k-1}+O({\varphi }^{-|k|})$

负根变换符合递归环的双向增长逻辑。

步骤2：余项$O({\varphi }^{-|k|})$在级数求和中的对称指数衰减。

步骤3：负索引扩展的边界条件确保渐近自相似性。

步骤4：递归环的位置等价性保证$O({\varphi }^{-\infty })$余项的可忽略性。$\square$