Z15.4 φ-调和测度的递归几何实现

定义Z15.4.1 (φ-调和测度)

基于调和测度理论和Z06.2节φ-递归流形，定义φ-调和测度： $${\mu }_{\varphi }^{(R)}(E)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{\eta }^{(\varphi )}(k;0){\sigma }_k(E)$$

其中${\sigma }_k$是第$k$层递归表面测度，${\eta }^{(\varphi )}(k;0)=F_{|k|}$确保正值边界处理。

相应的调和函数表示： $${\omega }_{\varphi }^{(R)}(z,E,D)={\int }_E{G}_{\varphi }^{(R)}(z,\zeta )d{\mu }_{\varphi }^{(R)}(\zeta )$$

定理Z15.4.1 (φ-调和测度的几何性质)

陈述：φ-调和测度在Z06.2节φ-递归流形上满足： $${\omega }_{\varphi }^{(R)}(\phi z,\phi E,\phi D)={\phi }^{-1}{\omega }_{\varphi }^{(R)}(z,E,D)$$

证明： 步骤1：φ-缩放下Green函数的变换：$G_{\varphi }^{(R)}(\phi z,\phi \zeta )={\phi }^{-1}{G}_{\varphi }^{(R)}(z,\zeta )$。

步骤2：表面测度的φ-变换：${\sigma }_k(\phi E)={\phi }^{dim-1}{\sigma }_k(E)$。

步骤3：积分的φ-齐次性验证。

步骤4：递归几何的φ-不变性保持。$\square$

定理Z15.4.2 (φ-容量的递归变分特征)

陈述：φ-容量通过递归变分原理刻画： $${\text{Cap}}_{\varphi }^{(R)}(E)=\inf \sum _{k\in \mathbb{Z}}{g}_{\varphi }(k){\eta }^{(\varphi )}(k;0)\int |\nabla u_k{|}^{2}dx$$

其中$g_{\varphi }(k)={\varphi }^{-|k|}$是标签调制权重，${\eta }^{(\varphi )}(k;0)=F_{|k|}$，极小在$u{|}_E=1$的条件下取得。

证明： 步骤1：容量的变分定义在φ-递归框架的推广。

步骤2：Dirichlet能量的标签调制权重$g_{\varphi }(k){\eta }^{(\varphi )}(k;0)$确保每层正熵增且收敛。

步骤3：极值函数的φ-调和性质和递归完备性验证。

步骤4：变分公式的收敛性通过$g_{\varphi }(k)={\varphi }^{-|k|}$的指数衰减保证。$\square$