Z16.1 φ-对称性的数学物理群论基础

定义Z16.1.1 (φ-对称群)

基于群论和Z06.2节φ-几何，定义φ-对称群： $$G_{\varphi }^{(R)}=\{g\in \text{GL}({\mathcal{H}}^{(Z)}):g(\varphi \cdot x)=\varphi \cdot g(x)\}$$

定理Z16.1.1 (φ-对称的Lie群结构)

陈述：φ-对称群具有Lie群结构，其Lie代数为： $${\mathfrak{g}}_{\varphi }^{(R)}=\{X\in \text{gl}({\mathcal{H}}^{(Z)}):[X,\varphi \cdot \text{Id}]=0\}$$

证明： 步骤1：φ-保持变换的可微性验证。

步骤2：Lie代数的交换子计算：$[X,\varphi \cdot \text{Id}]=\varphi [X,\text{Id}]-[X,\varphi ]\text{Id}$。

步骤3：φ-不变性条件的Lie代数表征。

步骤4：Lie群-Lie代数对应的φ-递归实现。$\square$

定理Z16.1.2 (φ-Noether定理的递归实现)

陈述：φ-对称性导致递归守恒量： $$\frac{d}{dt}\sum _{k\in \mathbb{Z}}{\eta }^{(\varphi )}(k;0)Q_k^{(\varphi )}=0$$

其中$Q_k^{(\varphi )}$是第$k$层φ-递归守恒荷。

证明： 步骤1：Noether定理在φ-递归对称性的应用。

步骤2：Z09章φ-动力学的守恒律实现。

步骤3：相对论指标${\eta }^{(\varphi )}(k;0)=F_k$作为守恒荷权重。

步骤4：守恒律的递归希尔伯特验证。$\square$