Z16.2 Fibonacci场论的数学结构分析

定义Z16.2.1 (Fibonacci场)

基于场论和Z06章Fibonacci生成，定义Fibonacci场： $${\phi }_{\text{Fib}}^{(R)}(x)=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{a}_k{F}_k{e}^{i{\eta }^{(\varphi )}(k;0)x}$$

其中$a_k$是场幅度，${\eta }^{(\varphi )}(k;0)=F_k$是递归频率。

定理Z16.2.1 (Fibonacci场的作用量)

陈述：Fibonacci场的作用量具有φ-递归结构： $$S_{\text{Fib}}^{(R)}[\phi ]=\int \sum _{k\in \mathbb{Z}}{\eta }^{(\varphi )}(k;0)\left[\frac{1}{2}({\partial }_{\mu }{\phi }_k{)}^2-V_{\varphi }({\phi }_k)\right]d^{4}x$$

证明： 步骤1：场的动能项通过相对论指标${\eta }^{(\varphi )}(k;0)=F_k$权重调制。

步骤2：势能$V_{\varphi }(\phi )=\frac{\lambda }{4}({\phi }^2-\varphi -1{)}^2$基于φ-特征方程。

步骤3：作用量的递归不变性验证。

步骤4：Euler-Lagrange方程的φ-递归形式推导。$\square$

定理Z16.2.2 (Fibonacci场的对称性破缺)

陈述：当$\lambda >0$时，Fibonacci场发生φ-调制对称性破缺： $$⟨{\phi }_{\text{Fib}}⟩=\pm \sqrt{\frac{\varphi (\varphi +1)}{\lambda }}\sum _{k\in \mathbb{Z}}{\varphi }^{-|k|}{e}_k^{(R)}$$

证明： 步骤1：势能$V_{\varphi }(\phi )$的最小值点分析：$\frac{d{V}_{\varphi }}{d\phi }=\lambda \phi ({\varphi }^2-\varphi -1)=0$。

步骤2：非平凡解$\phi =\pm \sqrt{(\varphi +1)/\lambda }$的递归结构。

步骤3：真空期望值的φ-递归分解。

步骤4：对称性破缺的递归几何机制。$\square$

定理Z16.2.3 (φ-守恒流的递归结构)

陈述：φ-对称性导致递归守恒流： $$j_{\mu }^{(\varphi )}=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{\eta }^{(\varphi )}(k;0)\left[{\phi }_k^{\ast }{\partial }_{\mu }{\phi }_k-({\partial }_{\mu }{\phi }_k^{\ast }){\phi }_k\right]$$

满足连续性方程：${\partial }_{\mu }{j}^{\mu (\varphi )}=0$。

证明： 步骤1：Noether定理在φ-对称场论的应用。

步骤2：φ-对称变换$\phi \to e^{i\alpha \log \phi }\phi$下的不变性。

步骤3：守恒流的相对论指标权重${\eta }^{(\varphi )}(k;0)$调制。

步骤4：连续性方程的递归希尔伯特验证。$\square$