Z16.3 φ-几何的数学物理实现

定义Z16.3.1 (φ-时空几何)

基于广义相对论和Z06.2节φ-递归流形，定义φ-时空几何： $$d{s}^2=\sum _{\mu ,\nu }{g}_{\mu \nu }^{(\varphi )}d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }$$

其中$g_{\mu \nu }^{(\varphi )}={\sum }_{k\in \mathbb{Z}}{\eta }^{(\varphi )}(k;0){\varphi }^{-|k|}{g}_{\mu \nu }^{(k)}$。

定理Z16.3.1 (φ-Einstein方程)

陈述：φ-时空几何满足φ-调制Einstein方程： $$G_{\mu \nu }^{(\varphi )}-{\Lambda }_{\varphi }{g}_{\mu \nu }^{(\varphi )}=8\pi G_{\varphi }{T}_{\mu \nu }^{(\varphi )}$$

其中${\Lambda }_{\varphi }={\sum }_{k\in \mathbb{Z}}{\varphi }^{-|k|}{\Lambda }_k$，$G_{\varphi }=G_N\cdot {\varphi }^{-2}$。

证明： 步骤1：φ-Riemann张量的递归计算：$R_{\mu \nu \rho \sigma }^{(\varphi )}={\sum }_k{\eta }^{(\varphi )}(k;0)R_{\mu \nu \rho \sigma }^{(k)}$。

步骤2：φ-Einstein张量：$G_{\mu \nu }^{(\varphi )}=R_{\mu \nu }^{(\varphi )}-\frac{1}{2}{R}^{(\varphi )}{g}_{\mu \nu }^{(\varphi )}$。

步骤3：宇宙常数的φ-递归分解和Newton常数的φ-调制。

步骤4：能动张量$T_{\mu \nu }^{(\varphi )}$的φ-递归表示。$\square$

定理Z16.3.2 (φ-测地线的递归变分)

陈述：φ-时空中的测地线满足φ-递归变分原理： $$\delta \int \sqrt{\sum _{k\in \mathbb{Z}}{\eta }^{(\varphi )}(k;0)g_{\mu \nu }^{(\varphi )}{\dot{x}}^{\mu }{\dot{x}}^{\nu }}d\tau =0$$

证明： 步骤1：φ-弧长元素的递归变分：$ds=\sqrt{g_{\mu \nu }^{(\varphi )}d{x}^{\mu }d{x}^{\nu }}$。

步骤2：变分方程的φ-Euler-Lagrange形式。

步骤3：测地线方程：$\frac{d^2{x}^{\lambda }}{d{\tau }^2}+{\Gamma }_{\mu \nu }^{(\varphi )\lambda }\frac{d{x}^{\mu }}{d\tau }\frac{d{x}^{\nu }}{d\tau }=0$。

步骤4：Christoffel符号${\Gamma }_{\mu \nu }^{(\varphi )\lambda }$的φ-递归表示。$\square$

定理Z16.3.3 (φ-曲率的递归分解)

陈述：φ-几何的曲率张量具有递归分解： $$R_{\mu \nu \rho \sigma }^{(\varphi )}=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{\varphi }^{-|k|}{R}_{\mu \nu \rho \sigma }^{(k)}+{\varphi }^{-\infty }\text{interaction-terms}$$

证明： 步骤1：曲率的递归层分解：每层贡献$R^{(k)}$。

步骤2：φ-权重${\varphi }^{-|k|}$的几何衰减意义。

步骤3：层间相互作用项的φ-调制。

步骤4：曲率分解的几何完备性验证。$\square$