Z16.4 递归希尔伯特空间的物理数学对应

定义Z16.4.1 (物理-递归对应原理)

基于第1章母空间和物理系统理论，定义物理-递归对应原理： $$\text{Physical-System}\leftrightarrow {\mathcal{H}}^{(Z)}\subset {\mathcal{H}}^{(\infty )}$$

通过映射$\Psi :\text{Physics}\to \text{Recursive-Hilbert}$。

定理Z16.4.1 (φ-物理量的递归算子表示)

陈述：物理可观测量在递归希尔伯特空间中表示为φ-调制自伴算子： $${\hat{O}}_{\varphi }^{(R)}=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{\eta }^{(\varphi )}(k;0)O_k|e_k⟩⟨e_k|$$

其中$O_k$是第$k$层的本征值。

证明： 步骤1：物理可观测量的自伴性要求在递归框架的实现。

步骤2：谱分解的φ-递归结构：本征值按Fibonacci权重分布。

步骤3：相对论指标${\eta }^{(\varphi )}(k;0)$作为物理权重调制。

步骤4：测量的Born规则在φ-递归空间的实现。$\square$

定理Z16.4.2 (递归希尔伯特态的物理解释)

陈述：递归希尔伯特态$|\psi ⟩\in {\mathcal{H}}^{(Z)}$对应物理态： $$|{\psi }_{\text{phys}}⟩=\sum _{k\in \mathbb{Z}}\sqrt{{\varphi }^{-|k|}}⟨e_k|\psi ⟩|k{⟩}_{\text{phys}}$$

证明： 步骤1：态的递归分解：$|\psi ⟩={\sum }_k{a}_k|e_k⟩$。

步骤2：物理概率幅度的φ-权重调制：$\sqrt{{\varphi }^{-|k|}}$。

步骤3：归一化的φ-递归保持：${\sum }_k|a_k{|}^2{\varphi }^{-|k|}=1$。

步骤4：物理态的递归希尔伯特完整表示。$\square$

定理Z16.4.3 (φ-演化的物理时间对应)

陈述：Z09.1节φ-动力学对应物理时间演化： $$\frac{d}{dt}|{\psi }_{\text{phys}}⟩=-\frac{i}{{\hslash }_{\varphi }}{\hat{H}}_{\varphi }^{(R)}|{\psi }_{\text{phys}}⟩$$

其中${\hslash }_{\varphi }=\hslash /\varphi$，${\hat{H}}_{\varphi }^{(R)}$是φ-Hamiltonian。

证明： 步骤1：Z09.1节递归演化方程的物理解释。

步骤2：φ-时间常数${\tau }_{\varphi }=1/\log \varphi$与约化Planck常数的关系。

步骤3：φ-Hamiltonian的递归算子表示。

步骤4：演化的幺正性和概率守恒验证。$\square$

定理Z16.4.4 (观察者投影的物理测量对应)

陈述：第1章观察者投影${\mathcal{P}}_{obs}^{(R)}$对应物理测量过程： $$\text{Measurement-Outcome}={\mathcal{P}}_{obs}^{(R)}[|\psi ⟩]=\sum _{k\in S_{obs}}{a}_k|e_k⟩$$

其中$S_{obs}$是观察者可达的递归层集合。

证明： 步骤1：量子测量的投影算子实现在递归希尔伯特空间。

步骤2：观察者限制$S_{obs}\subset \mathbb{Z}$的物理意义。

步骤3：测量概率$|a_k{|}^2{\varphi }^{-|k|}$的物理解释。

步骤4：测量后态的递归希尔伯特归一化。$\square$