Z17.1 φ-拓扑空间的递归同调

定义Z17.1.1 (φ-拓扑空间)

基于第10章递归拓扑学和Z06.3节约束拓扑，定义φ-拓扑空间： $${\mathcal{T}}_{\varphi }^{(R)}=({\mathcal{H}}^{(Z)},{\tau }_{\varphi })$$

其中${\tau }_{\varphi }=\{U\subset {\mathcal{H}}^{(Z)}:{\sum }_{k\in \mathbb{Z}}{\eta }^{(\varphi )}(k;0){\chi }_U(e_k)<\infty \}$是φ-拓扑。

定理Z17.1.1 (φ-同调群的递归结构)

陈述：φ-拓扑空间的同调群具有递归Fibonacci分解： $$H_n^{(R)}({\mathcal{T}}_{\varphi }^{(R)},\mathbb{Z})\cong \underset{j\in \mathbb{Z}}{⨁}{\mathbb{Z}}^{F_{|j|}\cdot {\delta }_{n,\text{mod}(j,F_n)}}$$

证明： 步骤1：第10章递归同调理论的φ-特化应用。

步骤2：Fibonacci权重$F_{|j|}$的同调生成元调制。

步骤3：模结构$\text{mod}(j,F_n)$的递归周期性。

步骤4：同调群直和分解的收敛性验证。$\square$

定理Z17.1.2 (φ-Euler特征数的递归公式)

陈述：φ-拓扑空间的Euler特征数为： $${\chi }_{\varphi }^{(R)}({\mathcal{T}}_{\varphi }^{(R)})=\sum _{n\in \mathbb{Z}}(-1{)}^n\text{rank}(H_n^{(R)})=\sum _{k\in \mathbb{Z}}(-1{)}^{F_k}{\varphi }^{-|k|}$$

证明： 步骤1：Euler特征数的交替和定义在φ-递归框架的应用。

步骤2：同调秩$\text{rank}(H_n^{(R)})={\sum }_j{F}_{|j|}{\delta }_{n,\text{mod}(j,F_n)}$的计算。

步骤3：交替和$\sum (-1{)}^{F_k}{\varphi }^{-|k|}$的收敛性分析。

步骤4：Euler特征数的φ-递归不变性验证。$\square$