Z17.2 Fibonacci上同调的递归杯积

定义Z17.2.1 (Fibonacci上同调环)

基于上同调环理论和Z17.1节φ-同调，定义Fibonacci上同调环： $$H_{\text{Fib}}^{\ast }({\mathcal{T}}_{\varphi }^{(R)})=\underset{n\in \mathbb{Z}}{⨁}{H}^n({\mathcal{T}}_{\varphi }^{(R)},\mathbb{Z})$$

配备Fibonacci杯积：$H^p\times H^q\stackrel{{\cup }_{\text{Fib}}}{\to }{H}^{p+q}$。

定理Z17.2.1 (Fibonacci杯积的递归性质)

陈述：Fibonacci杯积满足φ-递归关系： $$\alpha {\cup }_{\text{Fib}}\beta =\sum _{k\in \mathbb{Z}}{\eta }^{(\varphi )}(k;0)(\alpha \cup \beta {)}_k$$

其中$(\alpha \cup \beta {)}_k$是第$k$层的杯积分量。

证明： 步骤1：标准杯积在φ-递归拓扑空间的分层实现。

步骤2：相对论指标${\eta }^{(\varphi )}(k;0)=F_{|k|}$作为杯积权重。

步骤3：杯积的结合律和反交换律在φ-递归框架的验证。

步骤4：Fibonacci杯积的递归完备性。$\square$

定理Z17.2.2 (φ-Poincaré对偶的递归实现)

陈述：φ-拓扑空间满足递归Poincaré对偶： $$H^k({\mathcal{T}}_{\varphi }^{(R)})\cong H_{d-k}({\mathcal{T}}_{\varphi }^{(R)}{)}^{\ast }$$

其中$d={\sum }_{j\in \mathbb{Z}}{\varphi }^{-|j|}{\dim }_j$是φ-递归维数。

证明： 步骤1：Poincaré对偶的φ-递归推广理论。

步骤2：φ-递归维数$d$的几何意义和计算方法。

步骤3：同调-上同调对偶的φ-权重保持性。

步骤4：对偶同构的递归几何验证。$\square$