Z17.3 φ-示性类的递归纤维丛

定义Z17.3.1 (φ-纤维丛)

基于第17章递归纤维丛和φ-递归结构，定义φ-纤维丛： $${\pi }_{\varphi }:E_{\varphi }^{(R)}\to B_{\varphi }^{(R)}$$

其中纤维$F_{\varphi }={\pi }_{\varphi }^{-1}(b)$对所有$b\in B_{\varphi }^{(R)}$同构于φ-递归空间。

定理Z17.3.1 (φ-Chern类的递归表示)

陈述：φ-纤维丛的Chern类具有Fibonacci分解： $$c_n^{(\varphi )}(E_{\varphi }^{(R)})=\sum _{k\in \mathbb{Z}}{\eta }^{(\varphi )}(k;n)\text{Fib}(k)\in H^{2n}(B_{\varphi }^{(R)},\mathbb{Z})$$

其中$\text{Fib}(k)$是第$k$层Fibonacci示性类。

证明： 步骤1：Chern类的φ-递归定义通过特征多项式的φ-调制。

步骤2：相对论指标${\eta }^{(\varphi )}(k;n)$在示性类中的权重作用。

步骤3：Fibonacci示性类$\text{Fib}(k)$的递归构造。

步骤4：Chern类的Whitney公式在φ-递归框架的验证。$\square$

定理Z17.3.2 (φ-Pontryagin类的递归性质)

陈述：φ-纤维丛的Pontryagin类满足： $$p_k^{(\varphi )}(E_{\varphi }^{(R)})=\sum _{j\in \mathbb{Z}}(-1{)}^{F_j}{c}_{2j}^{(\varphi )}(E_{\varphi }^{(R)}{\otimes }_{\mathbb{C}}\mathbb{R})$$

证明： 步骤1：Pontryagin类与Chern类的关系在φ-递归框架的实现。

步骤2：复化$E_{\varphi }^{(R)}{\otimes }_{\mathbb{C}}\mathbb{R}$的φ-递归性质。

步骤3：符号$(-1{)}^{F_j}$的Fibonacci调制意义。

步骤4：Pontryagin类的递归不变性和几何意义。$\square$