Z17.4 拓扑不变量的φ-递归分类

定义Z17.4.1 (φ-拓扑不变量)

基于拓扑不变量理论和φ-递归结构，定义φ-拓扑不变量： $${\mathcal{I}}_{\varphi }^{(R)}(\mathcal{T})=\{I(\mathcal{T}):I(\mathcal{T})=I({\mathcal{T}}^{\prime })\text{ 当 }\mathcal{T}{\simeq }_{\varphi }{\mathcal{T}}^{\prime }\}$$

其中${\simeq }_{\varphi }$是φ-递归同伦等价。

定理Z17.4.1 (φ-不变量的完整分类)

陈述：φ-递归拓扑不变量由Fibonacci不变量完整分类： $${\mathcal{I}}_{\varphi }^{(R)}(\mathcal{T})=({\chi }_{\varphi },\{{\beta }_k^{(\varphi )}{\}}_{k\in \mathbb{Z}},\{c_n^{(\varphi )}{\}}_{n\in \mathbb{Z}},{\text{Sign}}_{\varphi })$$

其中${\chi }_{\varphi }$是φ-Euler特征数，${\beta }_k^{(\varphi )}$是Fibonacci-Betti数，$c_n^{(\varphi )}$是φ-Chern类。

证明： 步骤1：φ-拓扑空间的基本不变量识别。

步骤2：Fibonacci-Betti数：${\beta }_k^{(\varphi )}=\text{rank}(H_k)={\sum }_j{F}_{|j|}{\delta }_{k,f(j)}$。

步骤3：φ-符号不变量：${\text{Sign}}_{\varphi }={\sum }_{k\in \mathbb{Z}}(-1{)}^{F_k}{\text{signature}}_k$。

步骤4：不变量完整性的范畴论验证。$\square$

定理Z17.4.2 (φ-同伦等价的递归判定)

陈述：两个φ-拓扑空间同伦等价当且仅当所有φ-不变量相等： $${\mathcal{T}}_1{\simeq }_{\varphi }{\mathcal{T}}_2\iff {\mathcal{I}}_{\varphi }^{(R)}({\mathcal{T}}_1)={\mathcal{I}}_{\varphi }^{(R)}({\mathcal{T}}_2)$$

证明： 步骤1：φ-同伦等价的定义和基本性质。

步骤2：同伦不变性在φ-递归框架的验证。

步骤3：不变量的同伦保持性证明。

步骤4：逆方向：不变量相等蕴含同伦等价的构造证明。$\square$