Z18.4 φ-解析数论的复变方法

定义Z18.4.1 (φ-解析数论函数)

基于解析数论和Z14章φ-数论，定义φ-解析数论函数： $$L_{\varphi }^{(R)}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{a_n^{(\varphi )}}{n^s}$$

其中$a_n^{(\varphi )}={\sum }_{k\in \mathbb{Z}}{\eta }^{(\varphi )}(k;0)a_{n,k}$是φ-递归系数。

定理Z18.4.1 (φ-L函数的函数方程)

陈述：φ-L函数满足递归函数方程： $${\Lambda }_{\varphi }^{(R)}(s)={\epsilon }_{\varphi }{N}_{\varphi }^{(s-1)/2}{\Lambda }_{\varphi }^{(R)}(1-s)$$

其中${\Lambda }_{\varphi }^{(R)}(s)=N_{\varphi }^{s/2}{\Gamma }_{\varphi }(s)L_{\varphi }^{(R)}(s)$，${\Gamma }_{\varphi }(s)={\prod }_{k\in \mathbb{Z}}{\varphi }^{-|k|}\Gamma (s+k)$。

证明： 步骤1：φ-Gamma函数${\Gamma }_{\varphi }(s)$的递归乘积表示和收敛性。

步骤2：导子$N_{\varphi }$和根数${\epsilon }_{\varphi }$的φ-递归定义。

步骤3：Mellin变换在φ-递归框架的函数方程推导。

步骤4：函数方程的解析延拓和零点分布分析。$\square$

定理Z18.4.2 (φ-Prime number theorem的复分析)

陈述：φ-素数计数函数的复分析表示： $${\pi }_{\varphi }^{(R)}(x)={\text{Li}}_{\varphi }(x)+\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho }+O(x{e}^{-c\sqrt{\log x}})$$

其中${\text{Li}}_{\varphi }(x)={\int }_2^x\frac{dt}{{\log }_{\varphi }t}$，${\log }_{\varphi }t=\log t/\log \phi$。

证明： 步骤1：φ-素数分布的生成函数和Dirichlet级数表示。

步骤2：φ-对数积分${\text{Li}}_{\varphi }(x)$的渐近主项分析。

步骤3：非平凡零点$\rho$对应项的φ-递归修正。

步骤4：误差项的φ-调制改进和解析估计。$\square$