Z18.3 φ-模函数的递归变换群

定义Z18.3.1 (φ-模函数)

基于模函数理论和φ-递归结构，定义φ-模函数： $f_{ϕ}^{(R)} (τ) = k \in Z \sum a_{k} q_{ϕ}^{F_{k}}$

其中 $q_{ϕ} = e^{2 πi φ τ}$ ， $a_{k}$ 满足模变换的φ-递归性质。

陈述：φ-模函数在 $Γ_{ϕ} \subset S L_{2} (Z)$ 作用下不变： $f_{ϕ}^{(R)} (γ τ) = (c τ + d)^{w_{ϕ}} f_{ϕ}^{(R)} (τ)$

其中 $γ = (a c b d) \in Γ_{ϕ}$ ， $w_{ϕ} = \sum_{k \in Z} ϕ^{- ∣ k ∣} w_{k}$ 是φ-权重。

证明： 步骤1：φ-子群 $Γ_{ϕ} = {γ \in S L_{2} (Z) : γ \equiv I (mod F_{n})}$ 的定义。

步骤2：模变换下 $q_{ϕ}$ 的变换： $q_{ϕ} (γ τ) = e^{2 πi (a τ + b) / (c τ + d)} q_{ϕ}^{a / (c τ + d)}$ 。

步骤3：φ-权重 $w_{ϕ}$ 在模变换下的调制作用。

步骤4：模函数的Fourier展开系数的递归变换规律。 $□$

陈述：φ-Eisenstein级数具有递归Fourier展开： $E_{k, φ}^{(R)} (τ) = 1 + \frac{2}{ζ ( - k )} n = 1 \sum \infty σ_{k}^{(ϕ)} (n) q_{ϕ}^{n}$

其中 $σ_{k}^{(ϕ)} (n) = \sum_{d ∣ n} d^{k} ϕ^{- depth (d)}$ 是φ-除数函数。

证明： 步骤1：Eisenstein级数的φ-递归定义和收敛性。

步骤2：除数函数 $σ_{k}^{(ϕ)} (n)$ 的φ-深度权重调制。

步骤3：Fourier系数与ζ函数的φ-递归关系。

步骤4：模形式的递归变换性质验证。 $□$