Z18.2 φ-椭圆函数的递归双周期理论

定义Z18.2.1 (φ-椭圆函数)

基于椭圆函数理论和φ-递归结构，定义φ-椭圆函数： $℘_{ϕ}^{(R)} (z) = \frac{1}{z ^{2}} + ω \in Λ_{ϕ} ∖ {0} \sum (\frac{1}{( z - ω ) ^{2}} - \frac{1}{ω ^{2}})$

其中 $Λ_{ϕ} = Z ω_{1} + Z ω_{2}$ ， $ω_{2} / ω_{1} = φ e^{i θ}$ 。

陈述：φ-Weierstraß函数满足φ-递归微分方程： $(℘_{ϕ}^{(R)})^{'2} = 4 (℘_{ϕ}^{(R)})^{3} - g_{2}^{(ϕ)} ℘_{ϕ}^{(R)} - g_{3}^{(ϕ)}$

其中 $g_{2}^{(ϕ)} = \sum_{k \in Z} η^{(ϕ)} (k; 0) g_{2, k}$ ， $g_{3}^{(ϕ)} = \sum_{k \in Z} η^{(ϕ)} (k; 0) g_{3, k}$ 。

证明： 步骤1：Weierstraß微分方程在φ-格 $Λ_{ϕ}$ 的推导。

步骤2：不变量 $g_{2}^{(ϕ)}, g_{3}^{(ϕ)}$ 的Fibonacci分层分解。

步骤3：相对论指标 $η^{(ϕ)} (k; 0) = F_{∣ k ∣}$ 的不变量权重作用。

步骤4：微分方程的φ-递归解析验证。 $□$

陈述：φ-椭圆函数的模不变量在 $S L_{2} (Z)$ 作用下变换： $j_{ϕ}^{(R)} (γ τ) = j_{ϕ}^{(R)} (τ) + k \in Z \sum ϕ^{- ∣ k ∣} Δ j_{k} (γ)$

其中 $γ \in S L_{2} (Z)$ ， $Δ j_{k} (γ)$ 是第 $k$ 层修正项。

证明： 步骤1：模变换群 $S L_{2} (Z)$ 在φ-椭圆函数的作用。

步骤2：模不变量 $j_{ϕ}^{(R)} (τ) = \frac{( g _{2}^{(ϕ)} ) ^{3}}{Δ _{ϕ}}$ 的定义， $Δ_{ϕ} = (g_{2}^{(ϕ)})^{3} - 27 (g_{3}^{(ϕ)})^{2}$ 。

步骤3：修正项 $Δ j_{k} (γ)$ 的φ-权重衰减。

步骤4：模变换的φ-递归不变性验证。 $□$