2.4 形式化定义：图 $\Lambda$、希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 与更新算符 $\hat{U}$

在上一节中，我们通过“幺正性“确立了宇宙的信息守恒逻辑，通过“局域性“赋予了宇宙空间结构与因果限制。现在，我们必须将这些物理直觉转化为严格的数学语言。本节将给出终极公理 $\Omega$ 的完整数学形式化定义，这一三元组 $(\Lambda ,\mathcal{H},\hat{U})$ 将成为我们在本书后续所有推导中唯一允许使用的公理基石。

2.4.1 定义 2.4.1：离散几何背景（The Discrete Geometric Background）$\Lambda$

我们将“空间“定义为一个可数的、无限的（或极其巨大的有限）图。

定义（格点图 $\Lambda$）：

设 $\Lambda =(V,E)$ 为一个无向图，其中 $V$ 是顶点（元胞）集合，$E$ 是边（相邻关系）集合。

我们要求 $\Lambda$ 满足以下性质：

1. 正则性（Regularity）：每个顶点的度数（Degree）是有限且恒定的，记为 $k$。这对应于空间的均匀性。

2. 连通性（Connectivity）：图是连通的，即任意两点之间存在有限长度的路径。

3. 离散度量（Discrete Metric）：定义两点 $x,y\in V$ 之间的距离 $d(x,y)$ 为连接它们的最短路径的边数。

注：最简单的例子是 $D$ 维整数格点 ${\mathbb{Z}}^D$，但这并不是唯一的选择。Penrose 拼图或 Regge 微分几何的三角剖分也是允许的。但在本书的初级推导中，我们通常默认 $\Lambda \cong {\mathbb{Z}}^3$ 以简化讨论。

2.4.2 定义 2.4.2：量子态空间（The Quantum State Space）$\mathcal{H}$

我们将“物质“定义为分布在图上的量子信息。

定义（局域与全局希尔伯特空间）：

1. 局域空间：对于每个顶点 $x\in V$，关联一个有限维复希尔伯特空间 ${\mathcal{H}}_x\cong {\mathbb{C}}^d$。$d$ 称为局域维数（Local Dimension），对于量子比特（Qubit）系统，$d=2$。

2. 全局空间：全系统的希尔伯特空间 ${\mathcal{H}}_{\text{total}}$ 是所有局域空间的张量积：

   $${\mathcal{H}}_{\text{total}}=\underset{x\in V}{⨂}{\mathcal{H}}_x$$

3. 基底：全系统的一组正交归一基底可表示为 $|\mathbf{s}⟩={⨂}_x|s_x⟩$，其中 $s_x\in \{0,1,\dots ,d-1\}$ 是节点 $x$ 的经典状态。

注：由于 $V$ 可能是无限集，严谨的数学处理需要使用冯·诺依曼代数的无限张量积（Infinite Tensor Product）结构或 $C^{\ast }$ 代数。但在物理上，我们总是关注有限激发态，因此可以将其视为具有可数基底的希尔伯特空间。

2.4.3 定义 2.4.3：动力学演化（The Dynamical Evolution）$\hat{U}$

我们将“时间“定义为离散的更新步数 $t\in \mathbb{Z}$，并将“物理定律“定义为全局更新算符。

定义（全局幺正演化 $\hat{U}$）：

系统的状态随离散时间步 $t$ 演化：

$$|\Psi (t+1)⟩=\hat{U}|\Psi (t)⟩$$

其中算符 $\hat{U}$ 必须满足：

1. 幺正性（Unitarity）：${\hat{U}}^{†}\hat{U}=\hat{U}{\hat{U}}^{†}=\mathbb{I}$。

2. 因果局域性（Causal Locality）：$\hat{U}$ 具有有限深度的量子电路结构。具体而言，$\hat{U}$ 可以分解为一组局域门（Local Gates）的乘积：

   $$\hat{U}=\prod _{\text{partitions }P}\left(\underset{C\in P}{⨂}{\hat{u}}_C\right)$$

   其中每个 ${\hat{u}}_C$ 仅作用于以 $x$ 为中心、半径为 $r$（相互作用范围）的邻域 $\mathcal{N}(x)$ 内的节点。

3. 平移不变性（Translation Invariance）（针对 $\Lambda ={\mathbb{Z}}^D$）：设平移算符为 ${\hat{T}}_{\mathbf{a}}$，则 $[\hat{U},{\hat{T}}_{\mathbf{a}}]=0$。这意味着物理定律在空间各处是相同的。

2.4.4 物理诠释：光速 $c$ 的定义

在这个形式化体系中，自然常数 $c$（光速）不再是一个经验测量值，而是一个由图结构和更新规则定义的导出量。

在一个时间步 $\Delta t=1$ 内，局域算符 ${\hat{u}}_C$ 只能将信息（纠缠）从节点 $x$ 传播到其邻居 $y\in \mathcal{N}(x)$。

设格点间距为 $a=l_P$（普朗克长度），则信息的最大传播速度被严格定义为：

$$c\equiv \frac{a}{\Delta t}\times r$$

其中 $r$ 是局域门的相互作用半径（通常取 $r=1$）。

这就是物理学中光锥（Light Cone）的微观起源：它是由局域逻辑门的连通性所界定的因果边界。 任何试图超越这个速度的信息传输，都等价于要求 $\hat{U}$ 包含非局域的长程连接，从而违反了局域性定义。

至此，我们完成了对宇宙“源代码“的完整定义。这三条定义——图、态、算符——构成了我们推导一切物理现象的全部公理基础。除此之外，别无他物。

在接下来的章节中，我们将启动这个自动机，看看它是如何从这简单的规则中涌现出狭义相对论的奇迹的。