3.1 光锥的离散起源：从格点跳跃推导最大信号速度 $c$

在终极公理 $\Omega$ 中，我们仅仅定义了一个静态的图 $\Lambda$ 和一个动态的规则 $\hat{U}$。我们并没有预设“相对论“，没有预设“洛伦兹对称性“，更没有预设那个神圣的常数 $c\approx 299,792,458$ 米/秒。

然而，令人惊叹的是，只要这个自动机开始运行，光锥（Light Cone） 结构就会像晶体生长一样，从逻辑的底座中自动涌现出来。狭义相对论的核心——因果律与极限速度，不是上帝强加给宇宙的交通法规，而是离散信息处理系统的必然属性。

本章将证明：光速 $c$ 仅仅是时空格点的“网格常数“与“刷新率“的比值。

在牛顿的连续时空中，瞬间的超距作用（Action at a Distance）在数学上是允许的。力可以以无限大的速度传递，因果关系没有边界。但在离散的 QCA 宇宙中，这是被公理 $\Omega$ 中的“局域性“条款严格禁止的。

3.1.1 影响的定义：对易子作为因果探测器

首先，我们需要物理地定义什么是“影响“或“信号“。在量子力学中，如果两个可观测量算符 $\hat{A}$ 和 $\hat{B}$ 对易（即 $[\hat{A},\hat{B}]=0$），则对 $\hat{A}$ 的测量不会干扰 $\hat{B}$ 的统计分布，反之亦然。这意味着它们之间不存在因果连接。

相反，如果 $[\hat{A},\hat{B}]\ne 0$，则表明一个操作会干扰另一个结果，信息在两者之间传递了。

因此，我们可以定义：

定义（因果连接）：

若对于位于 $x$ 处的局域算符 ${\hat{O}}_x$ 和位于 $y$ 处的局域算符 ${\hat{O}}_y$，在海森堡绘景下满足：

$$[{\hat{O}}_x(t),{\hat{O}}_y(0)]\ne 0$$

则称事件 $(y,0)$ 因果影响了事件 $(x,t)$。

3.1.2 严格光锥定理

现在，我们证明在公理 $\Omega$ 定义的 QCA 中，这种影响的传播范围是严格受限的。

定理 3.1（QCA 的严格因果界限）

设 QCA 的图 $\Lambda$ 上的图距离为 $d(x,y)$，演化算符 $\hat{U}$ 的相互作用半径为 $r$。

对于任意两个节点 $x,y$ 和任意时间步 $t\ge 0$，若满足：

$$d(x,y)>r\cdot t$$

则必有：

$$[{\hat{O}}_x(t),{\hat{O}}_y(0)]=0$$

证明（数学归纳法）：

1. 海森堡演化：${\hat{O}}_x(t)=({\hat{U}}^{†}{)}^t{\hat{O}}_x(0){\hat{U}}^t$。这等价于算符随时间的逆向演化。

2. 基础步骤 ($t=0$)：若 $x\ne y$，根据局域希尔伯特空间的张量积结构，不同格点上的算符天然对易。$[{\hat{O}}_x(0),{\hat{O}}_y(0)]=0$。定理成立。

3. 单步扩散 ($t=1$)：

   考察 ${\hat{O}}_x(1)={\hat{U}}^{†}{\hat{O}}_x\hat{U}$。

   由于 $\hat{U}$ 是局域门 ${\hat{u}}_C$ 的乘积，只有那些覆盖了节点 $x$ 的局域门会对 ${\hat{O}}_x$ 产生非平凡作用。

   这些门的支撑集（Support）最大为以 $x$ 为中心、半径为 $r$ 的邻域 ${\mathcal{N}}_r(x)$。

   因此，演化后的算符 ${\hat{O}}_x(1)$ 虽然形式上变复杂了，但它仍然只包含定义在 ${\mathcal{N}}_r(x)$ 内的算符的代数通过。

   对于任何 $y\notin {\mathcal{N}}_r(x)$（即 $d(x,y)>r$），${\hat{O}}_x(1)$ 与 ${\hat{O}}_y(0)$ 作用于不相交的希尔伯特子空间，故对易。

4. 归纳步骤：

   假设对于 $t=k$，算符 ${\hat{O}}_x(k)$ 的支撑集 $\text{supp}({\hat{O}}_x(k))\subseteq {\mathcal{N}}_{k\cdot r}(x)$。

   在 $t=k+1$ 时，${\hat{O}}_x(k+1)={\hat{U}}^{†}{\hat{O}}_x(k)\hat{U}$。

   再次应用单步演化逻辑，支撑集向外扩展不超过 $r$。

   故 $\text{supp}({\hat{O}}_x(k+1))\subseteq {\mathcal{N}}_{(k+1)r}(x)$。

   结论：对于任何距离 $d(x,y)>r\cdot t$ 的点 $y$，其算符 ${\hat{O}}_y$ 位于 ${\hat{O}}_x(t)$ 的支撑集之外，二者必然对易。

证毕。

3.1.3 光速 $c$ 的本体论定义

上述定理给出了一个纯粹基于图论和逻辑步数的不等式：

$$\text{因果距离}\le r\times \text{时间步数}$$

为了连接物理现实，我们需要引入量纲（Units）。

• 设格点之间的物理间距为普朗克长度 $l_P$。

• 设一次逻辑更新的物理耗时为普朗克时间 $t_P$。

物理距离 $D=d(x,y)\cdot l_P$，物理时间 $T=t\cdot t_P$。

不等式变为：

$$D/l_P\le r\cdot (T/t_P)$$

$$D/T\le r\cdot \frac{l_P}{t_P}$$

我们定义这个不可逾越的速度上限为 $c$：

$$c\equiv r\frac{l_P}{t_P}$$

在这个视角下，光速 $c$ 不再是一个神秘的常数，它是时空像素的长宽比。

• 如果 $c$ 是无限的：意味着 $t_P\to 0$ 或 $l_P\to \infty$，这对应于全连接图或瞬时计算，这违背了我们的离散公理。

• 如果 $c$ 是变化的：意味着格点结构不均匀（非平移不变）。在我们的均匀 QCA 假设下，$c$ 必须是普适常数。

3.1.4 因果律的几何化

定理 3.1 不仅定义了速度，还定义了几何结构。

在图 $\Lambda \times \mathbb{Z}$（时空晶格）上，所有满足 $d(x,y)\le r\cdot t$ 的点对 $(y,0)$ 构成了点 $(x,t)$ 的过去光锥（Past Light Cone）。只有在这个光锥内的事件，才有可能成为 $(x,t)$ 的“原因“。

反之，所有满足 $d(x,z)\le r\cdot t$ 的点对 $(z,t)$ 构成了 $(x,0)$ 的未来光锥（Future Light Cone）。只有在这个光锥内的事件，才可能受到 $(x,0)$ 的“影响“。

而在光锥之外的区域（Space-like separation），$[{\hat{O}}_x,{\hat{O}}_z]\equiv 0$。这意味着：

对于类空分隔的事件，不存在客观的时间先后顺序。 因为它们之间没有任何因果联系，谁先谁后都不会导致逻辑矛盾。这正是狭义相对论中“同时性的相对性“的微观起源。

3.1.5 总结

我们从公理 $\Omega$ 出发，没有借助任何相对论假设，仅仅通过分析离散格点上的算符扩散，就“推导“出了光锥结构和极限速度。

在这个宇宙中，光子（Photon） 并不是一种特殊的粒子，它只是正好达到了格点传播带宽上限的信息波包。它是因果链条裸露在外的骨架。

在确立了 $c$ 的存在之后，下一个问题自然是：如果物体试图跑得和光一样快，会发生什么？这就引出了本书最核心的定理——光程守恒。