3.2 光程守恒定理：从幺正性证明 $v_{ext}^2+v_{int}^2=c^2$

在前一节中，我们确立了光速 $c$ 作为宇宙信息传播的最大带宽（因果边界）。然而，狭义相对论不仅仅关乎光速限制，更关乎当物体速度接近光速时会发生什么。为什么时间会膨胀？为什么质量会增加？

传统的物理学教科书将这些效应归结为洛伦兹变换的几何性质，即时空度规必须保持 $d{s}^2=-c^{2}d{t}^2+d{x}^2$ 不变。但这只是对现象的描述，而非解释。我们必须追问：为什么度规必须是这样的？

在本节中，我们将证明一个更为底层的定理——光程守恒定理（Theorem of Information Celerity Conservation）。我们将展示，狭义相对论的所有奇异效应，仅仅是**幺正性（信息守恒）**在空间和内部状态之间进行资源分配的必然数学结果。

3.2.1 信息速率的几何定义

在 QCA 的希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 中，物理状态 $|\Psi (t)⟩$ 随离散时间 $t$ 演化。我们如何定义这个状态演化的“速度“？

在量子力学中，衡量两个态之间区别的自然距离是 Fubini-Study 度规。对于一个由哈密顿量 $\hat{H}$ 驱动的幺正演化，态矢量在希尔伯特空间中的演化速率（即与其他态正交化的速率）正比于其能量的不确定度或平均能量。

对于 QCA 的基本激发（单粒子），其能量尺度由普朗克频率 ${\omega }_P$ 设定。由于演化算符 $\hat{U}$ 是严格幺正的（${\hat{U}}^{†}\hat{U}=\mathbb{I}$），态矢量在演化过程中保持模长不变。这意味着，态矢量在希尔伯特空间中永远以恒定的“角速度“旋转。

我们将这个恒定的总信息更新速率定义为 $c$。

定义（总信息速率）：

对于宇宙中的任意基本激发，其在全希尔伯特空间（包含位置与内部自由度）中的 Fubini-Study 演化速率的模长恒定为 $c$。

$$\Vert {\mathbf{v}}_{total}\Vert \equiv c$$

3.2.2 正交分解与勾股定理

现在，我们将这个总速率 ${\mathbf{v}}_{total}$ 投影到物理世界中可观测的两个维度上。

根据公理 $\Omega$，希尔伯特空间分解为 ${\mathcal{H}}_{total}={\mathcal{H}}_{position}\otimes {\mathcal{H}}_{internal}$。相应的，演化生成元（有效哈密顿量 ${\hat{H}}_{eff}$）也由两部分组成：

1. 平移生成元（$\hat{P}$）：负责改变粒子在格点图 $\Lambda$ 上的位置索引 $|x⟩\to |x+1⟩$。这对应于宏观的动量。

2. 内部旋转生成元（$\hat{M}$）：负责改变粒子的内部状态（如自旋翻转、相位旋转）。这对应于宏观的静止质量。

在一维 Dirac-QCA 模型（最简单的费米子模型）中，有效哈密顿量写作：

$${\hat{H}}_{eff}=c\hat{P}\otimes {\hat{\sigma }}_z+m_0{c}^2\hat{I}\otimes {\hat{\sigma }}_x$$

其中 ${\hat{\sigma }}_z,{\hat{\sigma }}_x$ 是泡利矩阵，分别作用于内部手性空间。

这里出现了一个决定性的代数性质：反对易性（Anti-commutation）。

$$\{{\hat{\sigma }}_z,{\hat{\sigma }}_x\}={\hat{\sigma }}_z{\hat{\sigma }}_x+{\hat{\sigma }}_x{\hat{\sigma }}_z=0$$

在几何上，算符的反对易性意味着它们所生成的演化方向是严格正交的。就像在欧几里得空间中 $x$ 轴与 $y$ 轴垂直一样，在希尔伯特空间中，“改变位置“和“改变内部状态“是两个互不干涉的演化维度。

因此，总演化速率的平方（对应能量平方 $E^2\propto ⟨{\hat{H}}^2⟩$）可以简单地通过计算算符的平方和得到：

$$\begin{array}{rl}{\hat{H}}^2& =(c\hat{P}{\sigma }_z+m_0{c}^2{\sigma }_x{)}^2\\ & =c^2{\hat{P}}^2{\sigma }_z^2+m_0^2{c}^4{\sigma }_x^2+c{m}_0{c}^2\hat{P}({\sigma }_z{\sigma }_x+{\sigma }_x{\sigma }_z)\\ & =(c^2{P}^2+m_0^2{c}^4)\mathbb{I}(\text{因为 }{\sigma }_i^2=\mathbb{I},\{{\sigma }_z,{\sigma }_x\}=0)\end{array}$$

我们将上式两边同时除以总能量平方 $E^2$（归一化），并引入速度定义：

• 外部速度 $v_{ext}\equiv c^{2}P/E$ （群速度 $dE/dP$）

• 内部速度 $v_{int}\equiv m_0{c}^3/E$ （内部震动对总能的贡献率）

即得：

$$1=\frac{v_{ext}^2}{c^2}+\frac{v_{int}^2}{c^2}$$

整理后，我们得到了本书最重要的定理之一：

定理 3.2（光程守恒定理）：

在幺正 QCA 宇宙中，任意粒子的外部位移速度 $v_{ext}$ 与内部演化速度 $v_{int}$ 满足：

$$v_{ext}^2+v_{int}^2=c^2$$

3.2.3 物理诠释：狭义相对论的去神秘化

这个简单的勾股定理彻底祛除了狭义相对论的神秘感。它告诉我们，物理实体的演化是一场零和博弈。

1. 资源互斥：你拥有的总“算力“是有限的（$c$）。如果你把算力用来改变位置（$v_{ext}$ 增加），你就必须减少用于内部状态更新的算力（$v_{int}$ 减少）。

2. 时间膨胀的本质：所谓的“时间膨胀“，本质上就是内部运算速率的降低。当你以接近光速运动时 ($v_{ext}\to c$)，你的 $v_{int}$ 被迫趋近于 0。你的内部时钟（新陈代谢、原子震动、思维活动）因为缺乏“算力配额“而变慢了。

   • 这不是因为时间本身变慢了，而是因为你忙于赶路，没空变老。

3. 质量的定义：在这个框架下，静止质量 $m_0$ 被赋予了清晰的几何意义——它是粒子在静止时 ($v_{ext}=0$) 的内部震动频率。它是粒子存在的“固有成本“。

4. 光子的本质：光子之所以没有质量，是因为它是一个纯粹的外部位移模式。它在内部空间没有投影 ($v_{int}\equiv 0$)，因此它必须把所有的配额都用于位移，导致 $v_{ext}\equiv c$。

3.2.4 结论

相对论不是关于时空的公理，而是关于信息处理的统计学。

爱因斯坦的洛伦兹因子 $\gamma =1/\sqrt{1-v^2/c^2}$，只不过是勾股定理 $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }$ 的另一种写法。在这个离散的、幺正的宇宙中，每一个粒子都是一个在信息速率圆周上舞动的指针。

在下一节，我们将利用这个定理，直接推导出洛伦兹变换的具体形式，并展示四维时空几何是如何从这个二维速度约束中涌现出来的。