3.3 洛伦兹变换的推导：没有几何，只有资源分配的统计学

在上一节中，我们确立了光程守恒定理：对于任意粒子，其外部位移速度 $v_{e x t}$ 与内部演化速度 $v_{in t}$ 满足 $v_{e x t}^{2} + v_{in t}^{2} = c^{2}$ 。这是一个关于信息处理资源分配的方程。

现在，我们将面临最大的挑战：如何仅从这个资源分配方程，推导出完整的洛伦兹变换（Lorentz Transformation）？

通常，洛伦兹变换被视为时空几何旋转的结果（闵可夫斯基空间的 $SO (1, 3)$ 对称性）。但在我们的离散本体论中，并没有预设连续的时空几何。我们所有的只是格点上的计数器。我们将证明，洛伦兹变换本质上是两个不同参考系下的观察者，对同一股守恒信息流进行不同分解的统计结果。

3.3.1 参考系的定义：谁在看？

在 QCA 中，什么是“参考系“？

静止参考系（实验室系 $S$ ）：这是格点背景本身的视角。我们可以想象遍布格点的“守护进程“，它们彼此同步（基于格点连通性），记录着全局更新步数 $t$ 和格点坐标 $x$ 。对于 $S$ 系，最大信号速度显然是 $c$ 。
运动参考系（共动系 $S^{'}$ ）：这是一个附着在以速度 $v$ 穿越格点的粒子（或飞船）上的局部观察者的视角。这个观察者携带了自己的内部时钟（基于 $v_{in t}$ ）和测量尺（基于信号往返）。

我们的任务是建立 $(t, x)$ 与 $(t^{'}, x^{'})$ 之间的映射关系。

3.3.2 时间膨胀：计数的相对性

考虑一个粒子 $P$ 相对于格点以恒定速度 $v$ 运动（即 $v_{e x t} = v$ ）。

在共动系 $S^{'}$ 中：

粒子认为自己是静止的（ $v_{e x t}^{'} = 0$ ）。根据光程守恒公理，它必须将所有的光程配额用于内部演化。

$v_{in t}^{'} = c$

这意味着，粒子的内部时钟（固有时间 $τ$ ）以最大效率运行：每经过一个物理时刻，它的状态就更新一步。

$d τ \propto 1$

在实验室系 $S$ 中：

我们看到粒子在空间中移动（ $v_{e x t} = v$ ）。根据光程守恒定理，它的内部演化速度被迫降低：

$v_{in t} = c^{2} - v^{2}$

这意味着，每经过一个实验室时间步 $d t$ ，粒子的内部状态只更新了 $c^{2} - v^{2} / c$ 步。

映射关系：

由于“时间“在物理上定义为内部状态更新的累积次数，因此 $S$ 系记录的时间 $d t$ 与 $S^{'}$ 系记录的时间 $d t^{'}$ （即 $d τ$ ）满足比例关系：

$d t^{'} = \frac{v _{in t}}{c} d t = \frac{c ^{2} - v ^{2}}{c} d t = 1 - \frac{v ^{2}}{c ^{2}} d t$

这即是时间膨胀公式：

$d t = γ d t^{'}, 其中 γ = \frac{1}{1 - v ^{2} / c ^{2}}$

注意：这里没有用到任何时空几何假设，仅用到了计数率（Clock Rate）的守恒分配。

3.3.3 尺缩效应：信号往返的计数

接下来推导空间变换。我们需要定义如何在运动系中测量长度。最操作化的定义是雷达回波法：发送一个光信号，从一端反射回另一端，测量往返时间。

设想粒子携带了一把尺子，长度为 $L^{'}$ （在 $S^{'}$ 系中静止）。粒子以速度 $v$ 沿 $x$ 轴相对于 $S$ 系运动。

在 $S^{'}$ 系中，光信号从尺子尾部传到头部再返回，耗时 $Δ t^{'} = 2 L^{'} / c$ 。

在 $S$ 系中，我们看到尺子长度为 $L$ 。

去程：光以速度 $c$ 追赶以速度 $v$ 逃跑的尺子头部。相对速度为 $c - v$ 。耗时 $Δ t_{1} = L / (c - v)$ 。
回程：光以速度 $c$ 迎面撞向尺子尾部。相对速度为 $c + v$ 。耗时 $Δ t_{2} = L / (c + v)$ 。

总往返时间（ $S$ 系）：

$Δ t = Δ t_{1} + Δ t_{2} = \frac{L}{c - v} + \frac{L}{c + v} = \frac{2 L c}{c ^{2} - v ^{2}} = \frac{2 L}{c ( 1 - v ^{2} / c ^{2} )} = \frac{2 L}{c} γ^{2}$

现在，利用之前推导的时间膨胀关系。 $S$ 系测得的往返时间 $Δ t$ 应该是 $S^{'}$ 系测得的往返时间 $Δ t^{'}$ 的 $γ$ 倍（因为 $S^{'}$ 上的时钟慢了，它读出的数字少，对应的物理时长 $S$ 看来更长… 等等，这里需要小心）。

严格逻辑：

“时间膨胀“是指： $S^{'}$ 的时钟走得慢。如果 $S^{'}$ 读出了 $Δ t^{'}$ 秒，那么 $S$ 会认为这实际上花费了 $γ Δ t^{'}$ 秒。

即： $Δ t = γ Δ t^{'}$ 。

代入上述方程：

$\frac{2 L}{c} γ^{2} = γ (\frac{2 L ^{'}}{c})$

$\frac{2 L}{c} γ = \frac{2 L ^{'}}{c}$

$L = \frac{L ^{'}}{γ} = L^{'} 1 - v^{2} / c^{2}$

这即是洛伦兹尺缩（Length Contraction）。同样，我们没有假设空间发生了弯曲，只是推演了在一个极限速度 $c$ 限制下的追及问题。

3.3.4 洛伦兹变换矩阵的代数重构

有了 $Δ t = γ Δ t^{'}$ 和 $L = L^{'} / γ$ ，我们能否写出坐标变换 $(t, x) \to (t^{'}, x^{'})$ ？

基于 QCA 的平移不变性（公理 $Ω$ 的第 3 条），变换必须是线性的：

$x^{'} = A (x - v t)$

$t^{'} = D (t - B x)$

（形式由“原点 $x = v t$ 在 $S^{'}$ 中为 $x^{'} = 0$ “确定）。

利用尺缩：

考虑 $t = 0$ 时刻， $S$ 系测量一根静止在 $S^{'}$ 系中的尺子（端点 $x = 0$ 和 $x = L$ ）。

对应 $S^{'}$ 坐标为 $x_{1}^{'} = A (0) = 0$ 和 $x_{2}^{'} = A (L)$ 。

长度 $L^{'} = x_{2}^{'} - x_{1}^{'} = A L$ 。

已知 $L = L^{'} / γ ⟹ L^{'} = γ L$ 。

因此，系数 $A = γ$ 。

$x^{'} = γ (x - v t)$
利用光速不变性（这是因果律公理的直接推论）：

如果一个信号满足 $x = c t$ ，那么它在 $S^{'}$ 系中必须满足 $x^{'} = c t^{'}$ 。

代入 $x^{'}$ 和 $t^{'}$ 的表达式：

$c t^{'} = γ (c t - v t) = γ c t (1 - v / c)$

$t^{'} = γ t (1 - v / c)$

另一方面，代入 $t^{'}$ 的线性形式：

$t^{'} = D (t - B c t) = D t (1 - B c)$

联立两式：

$γ (1 - v / c) = D (1 - B c)$

由于这对任意光信号（ $x = c t$ 和 $x = - c t$ ）都成立，我们可以解出：

$D = γ$ ， $B = v / c^{2}$ 。

于是，我们完整推导出了洛伦兹变换：

${x^{'} = γ (x - v t) t^{'} = γ (t - \frac{v}{c ^{2}} x)$

3.3.5 结论：几何是统计的幻象

这不仅是一次数学推导的复现，更是一次本体论的宣示。

在标准教科书中，洛伦兹变换被认为是时空几何旋转（双曲旋转）：

$(c t^{'} x^{'}) = (cosh η - sinh η - sinh η cosh η) (c t x)$

其中 $tanh η = v / c$ 。

在我们的 QCA 理论中，这个“双曲旋转“来源于信息速率圆周上的欧几里得旋转：

$v_{e x t} = c sin θ, v_{in t} = c cos θ$

洛伦兹因子 $γ = 1/ cos θ = sec θ$ 。

深刻的洞见：

闵可夫斯基空间中的双曲角（快度 $η$ ），在数学上等价于 QCA 希尔伯特空间中的分配角 $θ$ 。
我们以为自己生活在一个 $3 + 1$ 维的伪欧几里得时空中，实际上，我们生活在一个由信息速率守恒 ( $L_{2}$ 范数) 支配的希尔伯特空间投影中。

时空几何不是舞台，它是大量量子比特为了满足守恒律而集体表现出的统计行为。狭义相对论没有错，但它不是终极真理，它是底层幺正计算的宏观涌现。